X
تبلیغات
پگاه ریاضی
پگاه ریاضی

لذت ریاضی را با مهران تجربه کنید

مقدمه

هندسه فضایی به بررسی موقعیت اجسام ، اجرام و نقاط متحرک یا ساکن در فضا می‌پردازد، فضا مختصاتی سه بعدی دارد شامل طول ، عرض ، ارتفاع که این ابعاد را با x ، y و z در صفحه مختصات فضایی نمایش می‌دهیم. مهمترین مبحث در هندسه فضایی مبحث بردارها می‌باشند. بنابراین در هندسه فضایی به مؤلفه‌های برداری ، بردارهای یکه ، صفحات ، فاصله‌ها و ... خواهیم پرداخت.

مؤلفه‌های برداری و بردارهای یکه i ، k , j

بعضی از کمیات فیزیکی مانند طول و جرم اندازه پذیر هستند و توسط اندازه‌شان کاملا معین می‌شوند، این کمیات و کمیات نظیر آنها را کمیات اسکالر می‌گوئیم. اما کمیات دیگری وجود دارند که علاوه بر اندازه باید جهت آنها نیز مشخص باشد تا معین شوند این کمیات را کمیات برداری گوئیم. یک بردار را معمولا با پاره خطی جهتدار نمایش می‌دهند که جهتش نمایش جهت بردار بوده و طولش بر حسب یک واحد اختیار شده نمایش اندازه‌اش می‌باشد. دو بردار را زمانی مساوی می‌نامیم که از لحاظ جهت و اندازه یکسان باشند.

بهترین جبر بردارها مبتنی بر نمایش آنها بر حسب مؤلفه‌های موازی محورهای مختصات دکارتی است. این کار با استفاده از واحد طول یکسان بر سه محور x ، z , y صورت می گیرد و در این راه از بردارهای با طول یک در امتداد محورها به عنوان بردارهای یکه استفاده می‌شود که i را بردار یکه محور j ، x را بردار یکه محور y ها و k را بردار یکه محور z ها می‌گوئیم.
مهمترین ویژگی بردارها در فضا مانند حالتی است که در صفحه قرار دارند طول و جهت آنها است. طول بردارها با دو بار استفاده از قضیه فیثاغورس به دست می‌آید. اما به صورت ساده‌تر جهت بردار ناصفر بردار واحدی است که از تقسیم مؤلفه‌های آن بر طولش به دست می‌آید.

بردار بین دو نقطه در فضا

بیشتر اوقات لازم است که بردار بین نقاط را بدست آوریم. هندسه فضایی این مشکل را برای ما حل می‌کند، به این ترتیب که اگر دو نقطه را برحسب مختصات فضایی که دارند بیان کنیم بردار بین این دو نقطه توسط رابطه زیر حاصل خواهد شد:



فاصله در فضا

برای یافتن فاصله بین دو نقطه به مختصات گفته شده در مطلب بالا از مجموع توان دوم هر یک از مؤلفه‌های فوق رادیکال با فرجه دوم می‌گیریم بنابراین داریم:



حاصل عبارت فوق یک کمیت اسکالر می‌باشد.
وسط یک پاره خط در فضا
برای پیدا کردن وسط یک پاره خط که دو نقطه را به هم وصل می‌کند متوسط و یا به عبارتی میانگین مختصات را بدست می‌آوریم.

کره و استوانه

علاوه بر مطالب فوق هندسه فضایی به مطالعه کره و استوانه نیز می‌پردازد. معادله متعارف کره به شعاع a و مرکز به صورت زیر است:



در مورد استوانه و مطالعه درباره استوانه ناچار به تعمیم هندسه تحلیلی به فضا هستیم. به طور کلی استوانه سطحی است که از حرکت خط مستقیم در امتداد یک منحنی تولید می‌شود به طوری که همواره موازی خط می‌باشد. به طور کلی ، هر منحنی مانند
در صفحه استوانه‌ای در فضا تعریف می‌کند که معادله آن به صورت فوق می‌باشد و از نقاط خطوطی مار بر منحنی تشکیل شده است که با محور z موازی‌اند. خطوط را گاهی عناصر استوانه می‌نامند. بحث فوق را می‌توان برای استوانه‌هایی که عناصرشان موازی سایر محورهای مختصات‌اند تکرار کرد. به طور خلاصه: یک معادله در مختصات دکارتی ، که از آن یکی از مختصات متغیر حذف شده، نمایش استوانه ای است که عناصرش موازی محور مربوط به متغیر مفقود است. سهمی گونها یکی دیگر از اشکال مختصات فضایی هستند. بسیاری از آنتنها به شکل قطعاتی از سهمی گونهای دوارند، رادیو تلسکوپها یکی دیگر از انواع سهمی گونهای مورد استفاده بشر هستند که در ساخت آنها از هندسه فضایی مدد گرفته شده است.

منشور

منشور قائم شکلی فضایی است که از دو یا چند ضلعی مساوی و موازی تشکیل شده که رئوس این چندضلعیها طوری به هم وصل شده اند که وجوه جانبی این شکل فضایی مستطیل می‌باشد.

مکعب مستطیل

مکعب مستطیل منشوری است که قاعده‌های آن مستطیل می‌باشد اگر ابعاد قاعده مکعب مستطیل b , a و ارتفاع آن c باشد خواهیم داشت:


a+b)2c) = مساحت جانبی مکعب مستطیل


(ab+ac+bc)2=2ab+(2bc+2ac)= مساحت کل مکعب مستطیل


Abc= حجم مکعب مستطیل


هرم

هرم شکلی است فضایی که قاعده آن یک یا چند ضلعی است و وجوه جانبی آن مثلث است. این مثلثها یک رأس مشترک به نام S دارند. هرمی که قاعده آن مربع باشد هرم مربع القاعده و هرمی که قاعده آن مثلث باشد هرم مثلث القاعده نامیده می‌شود. پاره خطی که از رأس هرم بر صفحه قاعده آن عمود می‌شود ارتفاع نامیده می‌شود. اگر قاعده یک هرم یک چند ضلعی منتظم باشد پای ارتفاع آن بر مرکز قاعده منطبق باشد، هرم را هرم منتظم می‌نامیم. ارتفاع هر وجه جانبی هرم منتظم را سهم هرم می‌نامند.


2/سهم×محیط قاعده= مساحت جانبی هرم منتظم


ارتفاع×مساحت قاعده ×3/1 = حجم هرم


مخروط

اگر یک مثلث قائم الزاویه را حول یکی از اضلاع زاویه قائمه دوران دهیم شکلی فضایی پدید می‌آید که مخروط نامیده می‌شود. در این صورت ضلعی که مثلث را حول آن دوران داده‌ایم ارتفاع مخروط و ضلع دیگر زاویه قائمه شعاع قاعده مخروط و وتر مثلث مولد مخروط می‌باشد.


2 / مولد مخروط×محیط قاعده مخروط = مساحت جانبی مخروط


ارتفاع×مساحت قاعده×3/1 = حجم مخروط


 

نوشته شده در 87/11/22ساعت 4:41 بعد از ظهر توسط مهران مرداني| |

نوشته شده در 87/11/06ساعت 9:32 بعد از ظهر توسط مهران مرداني| |

نوشته شده در 87/11/06ساعت 9:31 بعد از ظهر توسط مهران مرداني| |

 
 
 
 
نوشته شده در 87/11/06ساعت 9:28 بعد از ظهر توسط مهران مرداني| |

به درستی معلوم نیست كه اولین دفعه چه كسی این پارادکس را ابداع كرد، ولی بنا به گفته‌ی کواین - قیلسوف علم مشهور - این مساله قبل از سال 1940 بر سر زبان‌ها افتاده و دهان به دهان می‌گشت و عموماً به صورت  مسأله‌ای تحت عنوان شخص محكوم به مرگ مطرح می‌شد كه اكنون ما به شرح آن می‌پردازیم:


در یك روز جمعه دادگاه شخصی را به مرگ محكوم كرد. قاضی به زندانیِ محكوم گفت:

ظهریكی از روزهای هفته‌ی آینده حكم اعدام درباره‌ی تو اجرا خواهد شد، ولی ما آنروز را برای تو مشخص نخواهیم كرد و تو هرگز قبل از آن روز اطلاع پیدا نخواهی كرد و فقط شش  ساعت قبل یعنی صبحِ روز اجرای حكم موضوع را به تو اطلاع خواهیم داد.

قاضیِ مذكور در همه‌ی عالم به ذكاوت و خوش‌قولی مشهور بود و همیشه دقیقاً به گفته‌ی  خود عمل می‌نمود.

زندانی به همراهی وكیل مدافع خود به سلولش داخل شد و هر دو غمزده در گوشه‌ای به فكر  فرو رفتند. ناگاه وكیل مدافع با لبخندی پیروزمندانه سكوت را شكست و گفت:

اجرای حكم  قاضی امكان ندارد.

زندانی گفت:

من كه چیزی سردر نمی‌آورم. چرا؟

وكیل مدافع پاسخ داد:

اجازه بده تا درست برایت شرح دهم: مسلماًً آن‌ها روز جمعه  نمی‌نتوانند تو را اعدام كنند. به دلیلِ اینكه اگر فرضاً بخواهند در روز جمعه‌ی  آینده حكم را اجرا نمایند. در این صورت تو تمام روزهای هفته و همچنین بعدازظهر  پنج‌شنبه زنده خواهی بود و چون فقط روز جمعه یعنی یك روز دیگر به مهلت باقی مانده، بعد ازظهر پنج‌شنبه برای تو مسلم خواهد شد كه فردا یعنی روز جمعه و تنها روز آخر  هفته ، حكم اجرا خواهد شد. در نتیجه تو روز اجرای حكم را یك روز پیش‌تر پیش‌بینی و  قبل از صبح جمعه از آن اطلاع حاصل كرده‌ای و این موضوع نقض حكم قاضی بوده و گفته‌ی  او را بی‌اعتبار خواهد كرد.


زندانی گفته‌ی او را تصدیق كرد.وكیل مدافع ادامه داد:

بنابراین روز جمعه‌ی آینده از فهرستِ روزهای مهلت حذف و در  آن روز حكم غیرقابل اجرا است. و اما روز پنج‌شنبه نیز نمی‌توانند تو را اعدام كنند  چون در بعدازظهرِ چهارشنبه دو روز بیشتر به آخر هفته نمانده و چون روز جمعه از  فهرست حذف شد ، تنها روز پنج‌شنبه آخرین روز اجرای حكم می‌باشد نتیجتاً بعدازظهر  چهارشنبه تو خواهی دانست در روز پنج‌شنبه كه آخرین روز امكان اجرای حكم است، تو را  اعدام خواهند كرد. اطلاع تو یك روز پیشتر از اجرای حكم مجدداً متناقض با حكم قاضی  است. بنابراین پنج‌شنبه نیز حكم غیرقابل اجرا است. چهارشنبه نیز امكان اجرای حكم  وجود ندارد چون جمعه و پنج‌شنبه حكم غیرقابل اجرا شد و فقط چهارشنبه آخرین روز  اجرای حكم تشخیص داده شد و تو كه بعدازظهر سه‌شنبه هنوز زنده هستی، اجرای حكم روز چهارشنبه را پیش‌بینی خواهی كرد و از آن اطلاع خواهی یافت.

در این موقع كه زندانی از حالت غمزدگی بیرون آمده بود با لبخندی مسرت‌بخش گفت:

پس  به هر طریق می‌توان گفت كه روز سه‌شنبه و سپس دوشنبه و بالاخره یك‌شنبه نمی‌توانند  مرا اعدام كنند و فقط فردا یعنی شنبه باقی است. و اما فردا نیز اجرای حكم برای آنها غیرممكن است چون در این صورت من امروز موضوع را  خواهم فهمید.


ملاحظه می‌شود از لحاظ منطقی هیچ تناقضی در حكم قاضی جهت اعدام زندانی وجود ندارد  با این وجود حكمش غیرقابل اجرا است. به دلایل بالا به نظر می‌آید كه حكم قاضی باعث نقض حكم خودش شده است، اگر حكم را  اجرا كند خلاف حكم خودش شده است، اگر حكم را اجرا كند خلاف حكم خود عمل كرده و اگر  اجرا نكند باز هم خلاف حكم خود رفتار نموده.


روایت دیگری از این پارادکس  از یك اعلامیه‌ی فرمانده‌ی نظامی گفتگو می‌كند كه در آن ذكر شده:

برای تمرین ، در یكی از شبهای هفته‌ی آینده آژیر خطر كشیده خواهد شد. شب تمرین در  شش بعدازظهر همان روز به اطلاع عامه خواهد رسید و تا شش بعدازظهر كسی از شب موعود  مطلع نخواهد شد.


به ظاهر چنین به نظر می رسد که خود این اعلامیه ثابت می‌كند كه تمرین هرگز انجام نخواهد گرفت. به زبان دیگر اجرای تمرین عملی نیست مگر این كه به متن اعلامیه عمل نشود.
نظرِ شما چیست؟

|+| نوشته شده در  شنبه بیست و هشتم آبان 1384 ساعت 13:42  توسط سهیل یزدانی  |  آرشيو نظرات
سکه های تقلبی
۱۲ سکه داریم که یکی از آنها تقلبی است(معلوم نیست سنگین تر از بقیه است یا سبکتر) میخواهیم با سه باروزن کردن اون سکه تقلبی رو پیدا کنیم.راه حل شما چيست؟

حل :

12سکه را به 3 دسته 4 تایی تقسیم می کنیم و با انتخاب 2 دسته تا از آنها توزین اول را انجام می دهیم 2 حالت پیش می آید

الف)2 دسته برابرند: پس دسته باقی مانده حاوی سکه تقلبی است. از بین 4 سکه این دسته 2 تا را انتخاب و توزین دوم را انجام می دهیم. اگر برابر بودند سکه تقلبی در بین 2 تای دیگر است، کافی است که یکی از آنها را با یک سکه معمولی بسنجیم(توزین سوم) که سکه تقلبی معلوم می شود. اگر برابرنبودند سکه تقلبی در بین همین 2 تا است، باز کافی است که یکی از آنها را با یک سکه معمولی بسنجیم(توزین سوم) که سکه تقلبی معلوم می شود.

ب) 2 دسته نا برابرند: یکی از 2 دسته حاوی سکه تقلبی است و مساله قدری سخت تراز حالت الف می شود . با خارج کردن 3 سکه از یک دسته و جابجایی 2 سکه از دسته دیگر به این دسته و افزودن 1 سکه معمولی به دسته دیگر توزین دوم را بین 2 دسته 3 تایی ایجاد شده انجام می دهیم .3 حالت پیش می آید

ب-1) دو دسته برابرند پس سکه تقلبی در بین 3 تای خارج شده است. با توجه به اینکه میدانیم از کدام دسته این 3 تا برداشته شده اند نوع نابرابری ان دسته در توزین اول سبکتر یا سنگینتر بودن سکه را معلوم می کند پس با توزین سوم سکه تقلبی بین این 3 سکه معلوم می شود. یعنی 2 تارا با هم می سنجیم اگر برابر بودند سومی تقلبی است واگرنابرابربودند همانی که نوع نابرابری را داشته باشد تقلبی است

ب-2) دو دسته نابرابری خلاف توزین اول دارند پس سکه تقلبی بین 2 سکه جابجا شده است که با توزین سوم معلوم میشود

ب-3) دو دسته نابرابری مشابه توزین اول دارند. پس سکه های خارج شده وسکه های جابجا شده (*) سکه های معمولی هستند و سکه تقلبی بین آنهایی است که جابجا نشده اند. در کل از 8 سکه مشکوک 5 تا کنار میرود و 3 سکه مشکوک باقی میماند. از دسته ای که 2 سکه دارد یکی را خارج می کنیم و1 سکه را به دسته دیگر منتقل می کنیم و در سمت دیگر 2 سکه معمولی می گذاریم توزین سوم را بین این 4 سکه انجام می دهیم .2 حالت پیش می آید:

ب-3-1) دو دسته برابرند پس سکه تقلبی سکه خارج شده است

ب-3-2) دو دسته نابرابری خلاف توزین اول دارند پس سکه جابجا شده همان سکه تقلبی است

ب-3-3) دو دسته نابرابری مشابه توزین اول دارند. پس سکه های خارج شده وجابجا شده سکه های معمولی هستند و سکه غیر این دو تقلبی است

نوشته شده در 87/11/06ساعت 9:23 بعد از ظهر توسط مهران مرداني| |

در يك مهماني كه من در آن شركت كرده بودم جز من كه فقط با يك نفر ديگر دست دادم هر يك از مهمانان با سه نفر ديگر دست داد. پرسش اول : ايا شما ميتوانيد دست كم تعداد حاضران در اين مهماني را حدس بزنيد؟ پرسش دوم:ايا تعداد شركت كنندگان در اين مهماني ميتواند ۲۱ نفر باشد؟

جواب : دست كم ۶ نفر
اما بيست و يك نفر نميتوانند باشند زيرا 19*3+2=59 كه يك عدد زوج نيست.
اما درباره اينكه چرا نميتوانند بيست و يك نفر باشند.
اگر در شكل فوق مدير را كنار بگذاريم يك گراف خواهيم داشت با پنج گره .گره آبي از درجه دو(فراموش نكنيم كه مدير را كنار گذاشته ايم)و چهار گره سبز از درجه سه،پس مجموع درج هاي گره ها برابر ۳*۴+۲=۱۴ ميباشد.از طرفي مشخص است كه مجموع درجه هاي يك گراف بايد زوج باشد و نميتواند فرد باشد(در اين مثال چون دست دادن يك رابطه دوطرفه است پس مجموع دست دادن ها بايد يك عدد زوج باشد).
حال اگر شمار افراد برابر ۲۱ نفر باشد با كنار گذاشتن مدير بيست نفر خواهيم داشت كه يك نفر با دو نفر دست داده است و ۱۹ نفر با سه نفر دست داده اند كه مجموع دست دادن ها برابر ۲+۳*۱۹=۵۹ ميشود كه بطور روشن غير ممكن است.

نوشته شده در 87/11/06ساعت 9:22 بعد از ظهر توسط مهران مرداني| |

اراتستن سر كتابدار موزه اسكندريه ، نخستين كسي بود كه اندازه زمين را محاسبه كرد . وي متوجه شد كه در ظهر روز تابستاني آفتاب تابستاني ، ستونهاي عمودي در سيرن (اسوان امروز ) هيچ سايه اي نمي اندازد اما همان وقت در اسكندريه در شمال سيرن ستون عمودي عقربه ساعت خورشيدي سايه مي اندازد . با اندازه گيري طول سايه و ارتفاع ستون ، وي تعيين كرد كه فاصله اسكندريه با سمت الراس ، 7.2 درجه است و از آنجايي كه اين رقم حدود يك پنجاهم 360 درجه است پس محيط زمين بايد پنجاه برابر فاصله اسكندريه و سيرن باشد . سپس محيط زمين به دست آمد و به اين ترتيب قطر زمين به دست مي آيد كه فقط 150 كيلومتر با ميزان فعلي تفاوت دارد.

نوشته شده در 87/11/06ساعت 9:19 بعد از ظهر توسط مهران مرداني| |

سقراط گفته است يوناني ها دروغگو هستند ولي خود سقراط هم يوناني است. پس او دروغ گفته که يوناني ها دروغ مي گويند پس يونانيها راستگو هستند و سقراط هم که يک يوناني است، راستگوست پس راست مي گويد که يونانيها دروغگو هستند پس...........آخر يونانيها دروغگواند يا راستگو!؟
نوشته شده در 87/11/06ساعت 9:18 بعد از ظهر توسط مهران مرداني| |

یکی از زیباترین استدلالهایی که ریاضی دانان یونان پس از شناخت رابطه فیثاغورث و آشنایی با مثلث قائم الزاویه ای که دو ضلع مجاور به وتر آن بطول 1 بود انجام داده اند آن است که "رادیکال دو" (2√) یا همان ریشه دوم عدد 2 نمی تواند یک عدد گویا باشد.

استدلال آنها بسیار ساده بود در نظر می گیریم که ریشه دوم عدد 2 بصورت یک کسر گویا (2√=a/b) بیان شود. همچنین فرض می کنیم که a/b کسر ساده شده می باشد و صورت و مخرج مقسوم علیه مشترک ندارند. در آنصورت اگر طرفین معادله را در خود ضرب کنیم (یا به توان دو برسانیم) باید داشته باشیم : a2/b2=2

بنابراین خواهیم داشت که : a2=2b2

رابطه اخیر نشان می دهد که a2 یک عدد زوج می باشد، بسادگی می توان نتیجه گرفت که a نیز باید عدد زوج باشد (چرا؟) ، بنابراین اگر a را بصورت 2t نمایش دهیم خواهیم داشت : 4t2=2b2

اگر معادله بالا را ساده کنیم خواهیم داشت که : b2=2t2

یعنی b هم یک عدد زوج می باشد(چرا؟) ، بنابراین a و b هر دو مقسوم علیه مشترکی مساوی 2 دارند و این مخالف فرضی است که در ابتدا انجام دادیم. بنابراین نمی توان عدد رادیکال دو را بصورت یک کسر گویا نمایش داد.
 
 
نوشته شده در 87/11/06ساعت 9:18 بعد از ظهر توسط مهران مرداني| |

 
 

Golden Ratio

دنیای اعداد بسیار زیباست و شما می توانید در آن شگفتیهای بسیاری را بیابید. در میان اعداد برخی از آنها اهمیت فوق العاده ای دارند، یکی از این اعداد که سابقه آشنایی بشر با آن به هزاران سال پیش از میلاد میرسد عددی است بنام "نسبت طلایی" یا Golden Ratio.

پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید که آنرا بگونه ای تقسیم کنید که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. به شکل توجه کنید. اگر این معادله ساده یعنی a2=a*b+b2 را حل کنیم (کافی است بجای b عدد یک قرار دهیم بعد a را بدست آوریم) به نسبتی معادل تقریبا" 1.61803399 یا 1.618 خواهیم رسید.

شاید باور نکنید اما بسیاری از طراحان و معماران بزرگ برای طراحی محصولات خود امروز از این نسبت طلایی استفاده می کنند. چرا که بنظر میرسد ذهن انسان با این نسبت انس دارد و راحت تر آنرا می پذیرد. این نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان برای طراحی استفاده می شود بلکه در طبیعت نیز کاربردهای بسیاری دارد که به تدریج راجع به آن صحبت خواهیم کرد.

Golden Ratio


برش اهرام و نسبت طلایی
اهرام مصر یکی از قدیمی ترین ساخته های بشری است که در آن هندسه و ریاضیات بکار رفته شده است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت آنها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در آن نسبت طلایی بکار رفته است. به این شکل نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه اهرام Giza خیلی ساده کشیده شده است.

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا" 1.61804 می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم. باز توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معادله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسم به معادله ای مانند phi2=phi+b2 خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. (معمولا" عدد طلایی را با phi نمایش می دهند)

طول وتر برای هرم واقعی حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا" معادل 440 متر می باشد بنابر این نسبت 356 بر 220 (معادل نیم ضلع مربع) برابر با عدد 1.618 خواهد شد.

کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه ای که در یکی از کتابهای خود اینگونه نوشت : "هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه فيثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلايي می باشد. اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد".

تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد. کپلر پی به روابط بسیار زیبایی میان اجرام آسمانی و این نسبت طلایی برد.
نوشته شده در 87/11/06ساعت 9:17 بعد از ظهر توسط مهران مرداني| |

  Abel : از جمله جوایز جدید در دنیای ریاضیات است که از طرف آکادمی علوم نروژ به مناسبت بزرگداشت تولد نیلز هنریک آبی (Niels Nenrik Abel 1802-1829) از سال 2003 به مناسبت دویست امین سالگرد تولد این ریاضی دان به محققین ریاضی اعطا می شود.
Cole : برای پاسداشت خدمات پروفسور فرانک نلسون کول (Frank Nelson Cole) از موسسین انجمن ریاضیات آمریکا، این انجمن دو جایزه در زمینه های جبر و تئوری اعداد به ریاضی دانان و محقیقن علم ریاضی اعطا می شود.

Eternity : نوعی پازل است که توسط کریستوفر مانکتون (Christopher Monckton) اختراع شد و شامل 209 تکه م یباشد که هر کدام یک چند ضلعی هستند که زوایای داخلی آنها 30 یا 60 یا 90 درجه می باشد. این پازل در سال 1999 در انگلستان معرفی شد و هدف آن ساختن پازل به گونه ای است که تشکیل یک دوازده وجهی - از نوع dodecagon - را بدهد. این جایزه مبلغ یک میلیون پوند بود که در سال 2000 به دو ریاضی دان که مسئله را حل کردند اعطا شد. چند سال بعد یک ریاضی دان دیگر چیدمان دیگری از این پازل را حل کرد و جایزه دیگری را نصیب خود کرد.

Fields Medal : این جایزه بسیار شبیه به جایزه نوبل در ریاضیات است. همانطور که ممکن است بدانید جایزه صلح نوبل به ریاضیای دانان اعطا نمی شود. اما Field Medal هر چهار سال یکبار از طرف اتحادیه بین المللی ریاضیات به محققان ریاضی اعطا می شود. این جایزه برای اولین بار در سال 1924 از طرف یک کنگره بین المللی در تورنتو (Toronto) تعیین شد. این جایزه بالاترین جایزه و پاداش در زمینه ریاضیات است که ممکن است به شخصی تعلق بگیرد. این جایزه یک مدال طلا است که ارزشی معادل پانزده هزار دلار دارد.

IMO : در عالم ریاضی جوایز بسیاری در مسابقات بین الملی به برترین ها اعطا می شود که شاید بزرگترین و معتبرترین آنها مسابقات بین المللی المپیاد ریاضی (The International Mathematical Olympiad) است. IMO مجموعه مسابقات همه ساله برای دانش آموزان دبیرستانی در کشورهای مختلف انجام می شود. اولین IMO در سال 1959 در رمانی برگزار شد و به تدریج گسترش پیدا کرد بگونه ای که امروزه بیش از 80 کشور در آن شرکت می کنند.

Putnam : از دیگر مسابقات مهم می توان به مسابقات Putnam که در آمریکای شمالی برگزار می شود اشاره کرد. این مسابقات برای داشنجویان راضی برقرار می شود و همه ساله در اول دسامبر بیش از 2000 دانشجو در دو جلسه و در مجموع شش ساعت به حل 12 مسئله ریاضی می پردازند. اغلب مسائل سخت هستند و راه حل های عادی ندارند.

MCM : یا International Mathematical Contest in Modeling نوعی از مسابقات تیمی دانشجویی است. مسائل این مسابقات اغلب توسط مسئولین دولتی یا دست اندرکاران صنعتی طراحی می شود. بهترین راه حل ها در ژورنالها و مجله های معتبر منتشر می شوند.

Nevanlinna : جایزه ای است که از طرف اتحادیه بین الملی ریاضیات به محققین در زمینه علوم اطلاعات (Information Science) اعطا می شود. افراد برنده همانند Field Medal جایزه دریافت می کنند، این جایزه برای اولین بار در سال 1983 در ورشو ارائه شد. این جایزه به محققان در زمینه هایی مانند علوم کامپیوتر، زبانهای برنامه نویسی، مدل سازی ریاضیات، محاسبات عددی، بهینه سازی، تئوری اطلاعات، پردازش سیگنال، سیستم های کنترل، هوش مصنوعی و ... ارائه می شود.

RSA Number : اعداد RSA اعداد مرکبی هستند که تنها دو فاکتو اول دارند برای همین گاهی اوقات به آنها اعداد نیمه اول (semiprime) گفته می شود. با وجود آنکه اعداد RSA به مراتب کوچکتر از بزرگترین اعداد اولی است که تاکنون شناخته شده است اما باید اذعان کرد که تجزیه این اعداد در حالی که فاکتورهای آنها اعداد اول بزرگ باشند بسیار بسیار دشوار است. از این اعداد برای سیستم های رمز با کلید خصوصی و عمومی در انتقال اطلاعات استفاده می شود. شرکتی بنام RSA Security جایزه بزرگی به شخصی خواهد داد که الگوریتمی برای تجزیه این اعداد که فقط دو عامل اول بزرگ دارند اعطا خواهد کرد. لازم به ذکر است که تاکنون برای اعداد RSA از 100 الی 174 بیت جوایزی به ارائه دهندگان الگوریتم اعطا شده است اما برای اعداد RSA شامل 193 بیت راه حلی ارائه نشده است.
نوشته شده در 87/11/06ساعت 9:17 بعد از ظهر توسط مهران مرداني| |

    

نوشته شده در 87/11/06ساعت 9:16 بعد از ظهر توسط مهران مرداني| |

روایت کرده اند که حکمران هند که به سختی تحت تاثیر اختراع بازی شطرنج قرار گرفته بود ، به مخترع آن وعده داد که هر پاداشی بخواهد به او بدهد. مخترع تقاضایی کرد که به ظاهر خیلی ناچیز به نظر می رسید: او مقداری دانه های گندم در خواست کرد ، به نحوی که اگر آنها را در خانه های صفحه شطرنج جا دهند ، در هر خانه دو برابر خانه قبل وجود داشته باشد.به این ترتیب تعداد دانه های گندمی که او تقاضا کرد مساوی مجموع جمله های یک تصاعد هندسی بود که جمله اول آن ۱، قدر نسبتش ۲، و تعداد جمله هایش مساوی ۶۴ بود.

حکمران هند که ثروتمند ترین مرد جهان بود ، نتوانست از عهده این در خواست برآید.در حقیقت این راجه ثروتمند شرقی با همه تصورات بی پایان خود نتوانست این مقدار گندم را تهیه کند!!!!!

تعداد دانه های گندم برابر است با مجموع توانهای متوالی ۲ از ۰ تا ۶۳ یعنی:

۱۸ُ۴۴۶ُ۷۴۴ُ۰۷۳ُ۷۰۹ُ۵۵۱ُ۶۱۵ عدد گندم

اگر در هر سانتیمتر مکعب ۲۰ دانه گندم قرار بگیرد رویهم این تعداد گندم به اندازه ۹۲۲ُ۳۳۷ُ۲۰۳ُ۶۸۵ متر مکعب گندم می شود(۲۰ میلیون گندم در هر متر مکعب)

برای اینکه بتوان این مقدار گندم را بدست آورد باید هشت بار تمام زمین را کاشت و هشت بار محصول آنرا جمع کرد. به عبارت دیگر این محصول را از سیاره ای می توان بدست آورد که سطح آن هشت برابر زمین باشد.

به این ترتیب مخترع شطرنج درس خوبی به حکمران هند داد و به او ثابت کرد که امکانات بی ژایانی ندارد و نمی تواند "هر" خواهش مخترع را برآورد.

نوشته شده در 87/11/06ساعت 9:16 بعد از ظهر توسط مهران مرداني| |

نکاتی در مورد وارون توابع :

تعریف 1 : مجموعه عبارتست از گردایه ای (دسته ای) از اشیاء کاملا مشخص و دوبدو متمایز.

تعریف 2: به عبارتی ساده ولی نه چندان دقیق ، یک خانواده دسته ای از اشیاء کاملا مشخص است که لزوما دوبدو متمایز نیستند.

فرض کنیم یک مجموعه باشد و به هر عنصر مانندیک عضو متناظر است، خانواده تمام عضوهای نظیر را خانواده عضوهای اندیس دار گوییم
تعریف 3 : فرض کنیم A وB دو مجموعه باشند، یک تابع زیر مجموعه ای چون f ازاست بطوریکه
الف) اگر آنگاه b ی درB هست که
ب) این عنصر b یکتاست ، به عبارت دیگر ، اگر و طوری باشند که و  آنگاه نتیجه می گیریم که b=c .
تعریف 4: اگر یک تابع باشد ، آنگاه زیر مجموعه B ، نگاره f (بردf)به صورت زیر تعریف می شود:

تعریف 5: تابع  پوشا برروی ‌‌B است ، اگر هر عضو B به ازای حداقل یک a در A ، به صورت
 باشد.
تعریف 6: تابع یک به یک است اگر به ازای هر ،  تساوی a=b را ایجاب کند.
تعریف 7: تابع دوسویی یا تناظر یک به یک است ، هرگاه هم یک به یک و هم پوشا به B باشد.
مثال 1 : تابع همانی که با ضابطه برای هر ،تعریف می شود ، تابعی دوسویی است.
تعریف 8: اگر  و دو تابع باشند و اگر نگاره f زیر مجموعه ای از C باشد ، آنگاه می توانیم f و g را ترکیب کنیم به این نحو که "اول f را اعمال کنیم و سپس g  را " به بیان صوری ، تخت این فرضیات چون  را با ضابطه  تعریف می کنیم.
قضیه 1 : اگر  یک تابع باشد آنگاه
اثبات :واضح است
تعریف 9: فرض کنیم  یک تابع باشد.آنگاه تابعی چون  یک وارون چپ f نامیده می شود هرگاه به ازای هر  داشته باشیم ،  و هرگاه به ازای هر  ، داشته باشیم  ، g وارون راست خوانده می شود ، هرگاه g هم یک وارون چپ f و هم یک وارون راست f باشد آنگاه گوییم g وارون f است.
قبل از اینکه به بیان قضیه مهم شرط لازم وکافی وارون پذیری بپردازیم ، اصل بسیار مهم زیر را بیان می کنیم
اصل 1: (اصل موضوع انتخاب) اگرخانواده اندیس شده ای از مجموعه ها (با مجموعه اندیس گذار)

باشد آنگاه تابعی چون f وجود دارد که :

و به ازای هر

به عبارت دیگر ، به ازای هر ، f عضوی از  را "بر می گزیند".

درک شهودی این اصل دشوار است ولی نه صادق بودنش اصول 13 گانه دیگر مجموعه ها نقض می کند و نه نه عدم صادق بودن آن .
قضیه 2: تابع  دارای یک :

الف) وارون چپ است اگر و تنها اگر یک به یک باشد

ب) وارون راست است اگرو تناه اگر پوشا باشد

ج) وارون است اگر و تنها اگر دوسویی باشد

د) وارونهای قسمتهای اف و ب لزوما منحصر بفرد نیستند

ه) وارون قسمت ج منحصر بفرد نیست

اثبات: الف)

فرض کنیم f دارای وارون چپی چون g باشد و  آنگاه  ، بنابراین f یک به یک است.
اگر  و ، آنگاه تعریف می کنیم ، این a ، بنا بر یک به یک بودن f یکتاست.
اگر  و b در برد f نباشد آنگاه چنین a یی وجود ندارد، در آن صورت بنا بر اصل انتخاب a یی دلخواه از A انتخاب و را مساوی با a تعریف می کنیم . حال  به ازای هر  معین است و  یک تابع ، از طرفی طبق تعریف g داریم ، ، و لذا g یک وارون چپ است.
ب)
اگر f دارای وارونی راست مانند g باشد و اگر ، آنگاه  ، لذا این b به ازای  به صورت  است و بنابراین f پوشا به B است.
اگر f پوشا باشد و  آنگاه به ازای a یی از A ، که لزوما یکتا نیست ، داریم .به ازای هر ، بنا بر اصل انتخاب ، را یک عضو مشخص دلخواهی از A می گیریم که ، آنگاه g یک تابع و وارون راست f است.
ج) بنابر قسمت الف و ب واضح است.
د) تابع  با ضابطه  را در نظر بگیرید .تابع تعریفی یک به یک است زیرا اگر  آنگاه a-b=0 و در نتیجه a و b مساوی هستند.
بنابراین این تابع یک وارون چپ دارد که مثلا با ضایطه

تعریف می شود ، زیرا

بدیهی است که عدد دلخواه 15 فقط به این دلیل آمده است که  روی تمام  تعریف شود. می توانیم به جای 15 هر عدد دیگری انتخاب کنیم. پس وارون چپ یکتا نیست.

حال به مثال زیر توجه نمایید:

اگر  آنگاه f تابعی از  به  پوشا می باشد ولی یک به یک نیست . از طرفی توابع  و
هر دو وارونهای راست  f ولی با هم یکی نیستند ، از طرفی وارون چپ نمی باشند زیرا :

ه) اگر f دارای وارونهای  و  باشد آنگاه

یعنی وارون f یکتاست .

و حال دو تا سوال ۲۰۰۸ ی  که یکی جبری و دیگری در زمینه نظریه اعداد می باشد:

۱- نشان دهید به ازای اعداد صحیح و مثبت a و n ، وجود دارد b ی بطوریکه :


حل :
داریم

با استفاده از فرمول دو جمله ای داریم :


بنابراین

 و در اینجا حل مساله کامل است

2- نشان دهید که بر  بخش پذیر می باشد

حل :
و  نیز عدد اول می باشد. بنا بر قضیه کوچک فرما (بطوریکه pاول می باشد) داریم

واضح است که ،  و  و 8 و 251 نسبت بهم اولند ، بنابراین

و حل کامل است .

و در پایان نیز یک سوال جالب و زیبا که امیدوارم دوستان و ریاضی دوستان سوال را حل نمایند و به mail  ارسال نمایند تا در پست بعد عینا گزارده شود .

سوال :نشان دهید که دنباله   که  ، نزولی است

نوشته شده در 87/11/06ساعت 9:7 بعد از ظهر توسط مهران مرداني| |

طرح درس:
در این درس، دانش آموزان از اطلاعات خود درباره مستطیل برای پیدا کردن فرمول مساحت متوازی الاضلاع استفاده می کنند.

اهداف:

  • دانش آموزان با استفاده از یک واحد اندازه گیری مناسب، ابعاد مستطیل ها را اندازه می گیرند و مساحت آنها را محاسبه می کنند.
  • از دانش خود درباره فرمول های مربوط به مستطیل استفاده می کنند تا به فرمول مساحت متوازی الاضلاع برسند.
  • روش های جایگزین دیگری برای پیدا کردن مساحت متوازی الاضلاع کشف می کنند.
  • از فرمولی که به دست آورده اند برای محاسبه مساحت متوازی الاضلاعی با ارتفاع و قاعده مشخص استفاده می کنند و یا یکی از ابعاد آن را با داشتن اندازه مساحت و  بعد دیگر حساب می کنند.

وسایل لازم:

روش تدریس:
در این درس دانش آموزان از فرمول مساحت مستطیل استفاده می کنند تا فرمول مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کنند. اگر لازم است مفهوم مساحت و همین طور فرمول مساحت مستطیل ( A=bh ) را یادآوری کنید.
مروری بر ویژگی های متوازی الاضلاع و ارتباط آنها با سایر چهارضلعی ها نیز می تواند سودمند باشد. شما می توانید چنین پرسش هایی را با بچه ها مطرح کنید: "آیا هر مربع یک متوازی الاضلاع است؟" یا " آیا هر متوازی الاضلاع یک لوزی هم  هست؟". برای کمک به بچه ها در دادن پاسخ، می توانید از نمودار زیر استفاده کنید یا می توانید با صرف مقداری وقت، این نمودار را به همراه خود دانش آموزان به دست آورید.

برای شروع درس، از دانش آموزان بخواهید به نقشه استان های ایران نگاه کنند و بگویند آیا هیچ یک از استان ها شکلی تقریباً شبیه متوازی الاضلاع دارد؟ آنها را به گروه های سه نفره تقسیم کنید تا روشی برای تخمین مساحت آن پیدا کنند. (در انتهای درس دانش آموزان به این مسئله برمی گردند و یافته های خود را در کلاس به بحث می گذارند. )
برگه های فعالیت "مستطیل ها و متوازی الاضلاع ها" و "گزارش مساحت چهارضلعی ها" را بین بچه ها پخش کنید. به آنها زمان دهید تا مساحت   شکل های A تا E را به دست آوردند و از آنها بخواهید تا اطلاعات خود را در برگه گزارش ثبت کنند.
برای هر مستطیل، آنها به سادگی می توانند تعداد مربع ها را بشمارند یا تعداد مربع های طول و عرض را در هم ضرب کنند. همچنین می توانند با استفاده از یک خط کش و واحد اندازه گیری متریک طول و عرض مستطیل ها را اندازه بگیرند و مساحت آنها را به دست آورند. برای تعیین مساحت متوازی الاضلاع ها، احتمالا به شمردن تعداد مربع هاخواهند پرداخت. آنها باید چند مربع ناقص را به جای یک مربع کامل بشمارند تا بتوانند مساحت  شکل ها  را تخمین بزنند.
سپس از هر دانش آموز بخواهید تا شکل های C ، B ، A را با قیچی ببرد و بعد در مستطیل A،  خطی را که از رأس پایین سمت چپ به نقطه ای از ضلع بالایی به فاصله 3 واحد از رأس وصل می شود، ببرد. این برش روی خطی با زاویه 45 درجه خواهد بود که هر مربع را دقیقاً به 2 نیمه مساوی تقسیم می کند. بعد در مستطیل های B و C، برشی از رأس پایین سمت چپ تا یک نقطه دلخواه روی ضلع بالایی ایجاد کنند و مثلث بریده شده را مثل شکل زیر در سمت راست مستطیل قرار دهند(بهتر است بچه ها قبلا خط برش را با خط کش رسم کنند تا برش صاف انجام شود). بچه ها را تشویق کنید که برش های متفاوتی نسبت به هم گروه های خود ایجاد کنند.

حالا دانش آموزان باید مساحت متوازی الاضلاع به دست آمده را مشخص کنند و نتیجه را در برگه "گزارش مساحت چهارضلعی ها" یادداشت کنند.

در فعالیت بعدی، از دانش آموزان بخواهید که در شکل های D و  E  با بریدن مثلث های قائم الزاویه از یک طرف آنها و انتقال آن به سمت دیگر شکل، متوازی الاضلاع را به مستطیل تبدیل کنند. دانش آموزان باید این نکته را درک کنند که با این تغییر و جابه جایی، هر متوازی الاضلاع به مستطیلی با مساحت مساوی تبدیل می شود. این بار هم دانش آموزان باید مساحت مستطیل به دست آمده را حساب کنند و مقدار آن را در برگه خود ثبت کنند. همان طور که بچه ها برگه گزارش خود را کامل می کنند، درستی و دقت اندازه گیری و محاسبات آنها را بررسی کنید. بدون اندازه های درست، دانش آموزان نمی توانند کشف کنند که فرمول مساحت مستطیل و متوازی الاضلاع به هم شبیه است.

دانش آموزان می توانند برای کاوش درباره شکل های دیگر، از فعالیت کامپیوتری "برش دهنده شکل ها" استفاده کنند. در این فعالیت، آنها می توانند با برش های مناسب و دوباره چیدن تکه ها، متوازی الاضلاع یا مستطیل بسازند. علاوه بر این، دانش آموزان حتی می توانند با برش های دیگری این موضوع را نشان دهند که دو متوازی الاضلاع (بدون زاویه قائمه) با ارتفاع و قاعده های مساوی، مساحت های مساوی دارند. در شکل زیر این موضوع نشان داده شده است.(با انتقال قسمت قرمز رنگ به سمت دیگر، متوازی الاضلاع  متفاوتی به وجود می آید.)

بعد از این کاوش ها، آنچه اتفاق افتاده است را در کلاس به بحث بگذارید و پرسش های زیر را مطرح کنید:

  • آیا شکل ها تغییر کرده اند؟ (بله)
  • آیا اندازه ها تغییر کرده اند؟ (طول ضلع ها تغییر کرده است، ولی ارتفاع و قاعده تغییری نکرده است.)
  • آیا مساحت تغییری کرده است؟ (خیر)
  • آیا دوستان دیگر شما در گروه برش های متفاوتی انجام داده اند؟ اگر این طور است آیا مساحتی که به دست آورده اند با شما متفاوت است؟ (مساحت ها باید یکسان باشد، صرف نظر از این که برش چه طور بوده است.)

در نتیجه این بحث، دانش آموزان باید بفهمند که فرمول مساحت مستطیل(A=bh) با فرمول مساحت متوازی الاضلاع تفاوتی ندارد.
در آخر دانش آموزان حتی می توانند ارتباط بین فرمول مساحت ذوزنقه و متوازی الاضلاع را مشخص کنند. فرمول مساحت ذوزنقه این است:
A=1/2(b1+b2)h
در متوازی الاضلاع، قاعده ها با هم مساوی هستند، پس b1=b2. بنابراین با استفاده از فرمول مساحت ذوزنقه، فرمول مساحت متوازی الاضلاع به دست می آید:
A=1/2(b1+b2)h=1/2(b1+b1)h=b1h
در پایان درس به پرسش اولیه ای که برای ایجاد انگیزه پرسیده بودید برگردید: مساحت استانی که شبیه به شکل متوازی الاضلاع بود، چقدر است؟ در این مرحله دانش آموزان باید روی نقشه ارتفاع و قاعده را اندازه بگیرند و با استفاده از مقیاس نقشه و فرمول، مساحت تقریبی استان را به دست آورند.

 

پزسش هایی برای دانش آموزان:
  • چه روابط مشترکی بین متوازی الاضلاع و مستطیل وجود دارد که شما می توانید یک فرمول را برای محاسبه مساحت هر دو استفاده کنید؟     ( یک مستطیل و متوازی الاضلاع با ارتفاع و قاعده یکسان مساحت هایی مساوی دارند. وقتی یک مثلث را از مستطیلی جدا می کنیم و آن را به گونه ای قرار می دهیم که شکل به صورت متوازی الاضلاع درآید٬ اندازه ارتفاع و قاعده و در نتیجه مساحت ثابت می ماند.)

 

  • به غیر از استفاده از فرمول، چه روش های دیگری را برای پیدا کردن مساحت متوازی الاضلاع پیشنهاد می کنید؟ بایک مثال روش خود را مرحله به مرحله توضیح دهید و بگویید چگونه مساحت متوازی الاضلاع را به دست آوردید. کدام آسانتر است؟ روش شما یا استفاده از فرمول؟ (یک متوازی الاضلاع می تواند به چند روش تقسیم شود. یک روش٬ تقسیم آن به یک مستطیل با دو مثلث در دو طرف آن است که در شکل زیر نشان داده شده است. به این ترتیب می توان مساحت هر تکه را به دست آورد و بعد مساحت ها را با هم جمع کرد.

 

اگر چه این روش پاسخ درستی به ما می دهد٬ ولی ما باید به جای یک بار٬ سه بار از فرمول های مساحت استفاده کنیم. بنابراین استفاده از فرمول مساحت متوازی الاضلاع احتمالاً آسان تر است.)

  • برای پیدا کردن مساحت٬ چرا باید قاعده را در ارتفاع ضرب کنیم و قاعده را در ضلع ضرب نمی کنیم؟ (ارتفاع٬ فاصله عمودی بین قاعده و ضلع بالایی است. در حالی که طول ضلع متوازی الاضلاع بر حسب شیب آن می تواند تغییر کند٬ اما ارتفاع آن تغییری نمی کند.)

 

  • آیا با کمک فرمول مساحت متوازی الاضلاع می توان مساحت لوزی را هم بدست آورد؟ چرا بله و چرا خیر؟ (بله زیرا لوزی نوعی متوازی الاضلاع است که چهار ضلع آن با هم برابر است.)

پرسش هایی برای معلم:

  • دانش آموزان از چه روش های جایگزینی برای محاسبه مساحت متوازی الاضلاع استفاده کردند؟ آیا این روش ها همیشه کاربرد دارد؟ آیا دانش آموزان به خوبی این روش ها را توضیح دادند؟
  • آیا فعالیت کامپیوتری معرفی شده را ارزشمند یافتید؟ آیا با درس شما ارتباط داشت؟ آیا دانش آموزان را به چالش می انداخت؟ اگر این طور نبود٬ چه پیشنهادی برای جذاب تر کردن این فعالیت ها دارید؟
  • آیا دانش آموزان با این درس درگیر شدند؟
  • این درس چگونه نیازهای یادگیران گوناگون را پوشش داد؟

ارزشیابی:
دانش آموزان را به گروه های دو نفره تقسیم کنید. از هر دانش آموز بخواهید یک متوازی الاضلاع بکشد، ابعاد آن را اندازه بگیرد و مساحت آن را حساب کند سپس هر کدام باید به دیگری اندازه مساحت و یکی از ابعاد متوازی الاضلاع را بگوید (ارتفاع یا قاعده). هم گروهی او باید اندازه بخش نامعلوم را پیدا کند. به دانش آموزان اجازه دهید تا با استفاده از سایت های زیر فرمول مساحت را مرور کنند:

 Area of Parallelograms - Math Goodies

Area of Parallelograms - Teacher’s Choice

 Area Lesson - Homeschool Math

Area of Common Figures - Math Guide

در کلاس بگردید تا دانسته های بچه ها را در حین انجام دادن این فعالیت ها ارزیابی کنید.

برای دانش آموزان مسئله هایی طرح کنید تا به تنهایی حل کنند. به عنوان مثال: حیاطی به شکل متوازی الاضلاع داریم که قاعده آن 7/9 متر و ارتفاع آن 2/3 متر است. مساحت این حیاط چه قدر است؟(18/17 متر مربع).علاوه بر این مسائلی را طرح کنید که در آنها مساحت و یکی از ابعاد مشخص است و دانش آموزان باید بعد دیگر را به دست آورند.

توسعه:
برخی از دانش آموزان می توانند با داشتن مختصات نقاط، متوازی الاضلاع هایی را در دستگاه مختصات رسم کنند و یکی دیگر از دانش آموزان مساحت آن را با استفاده از فرمول حساب کند.

آنابلامیلبنک به عنوان " شاهزاده متوازی الاضلاعها " شناخته شده است. دانش آموزان می توانند در مورد او از اینترنت تحقیق کنند. یک سایت ممکن می تواند این آدرس باشد The Mac tutor History of Mathematics اگر چه این صفحه به دختر او اختصاص دارد ولی دارای اطلاعات چشم گیری در مورد مادرش است دانش آموزان می توانند برای کلاس گزارشی تهیه کنند که چرا میلبنک را شاهزاده متوازی الاضلاع می دانند.
 

نوشته شده در 87/11/02ساعت 8:14 بعد از ظهر توسط مهران مرداني| |

طرح درس:
در این درس دانش آموزان مساحت اشکال کاملاً نامنظم و غیر هندسی را تخمین می زنند و از روش تجزیه شکل برای محاسبه مساحت چندضلعی های غیر منتظم استفاده می کنند.

اهداف:

  • تخمین مساحت شکل های غیر هندسی
  • تجزیه چند ضلعی های غیر منتظم به مربع، مستطیل، مثلث و دیگر شکل های آشنا
  • تعیین مساحت یک چند ضلعی غیر منتظم با جمع  کردن مساحت شکل های حاصل از تجزیه آن

وسایل لازم:

روش تدریس:
 

فعالیت اولیه می تواند با یک طرح آزاد شروع شود. دانش آموزان باید یک شکل تصادفی را مانند شکل زیر روی صفحه کاغذ بکشند.

 می توانید برای آن ها یک شکل غیر هندسی را به عنوان الگو روی تخته کلاس بکشید تا مطمئن شوید شکل های متعارفی مانند مربع، مستطیل یا مثلث نمی کشند.
پس از این که تمام دانش آموزان شکل خود را رسم کردند، از آنها بخواهید تا مساحت شکل های خود را از هر روشی که می خواهند تخمین بزنند. بعضی از دانش آموزان ممکن است برگه مدرج خود را روی شکل گذاشته و مربع ها را بشمارند. بعضی ممکن است درون شکل خود تعدادی مربع، مثلث و مستطیل رسم کنند و مساحت این شکل ها را حساب کنند.  برخی دیگر ممکن است شکل خود را با اشیایی که می شناسند و اندازه های آن را    می دانند مقایسه کنند، مانند کارت شناسایی یا سکه.
از آنها بخواهید تا شکل های خود را با یکی از هم کلاسی های خود مقایسه کنند و توضیح دهند چگونه مساحت آن را تخمین زده اند. پس از آن از بعضی دانش آموزان بخواهید روش خود را برای کل کلاس توضیح دهند.

سپس برگه فعالیت "چند ضلعی ها" را در کلاس پخش کنید و از دانش آموزان بخواهید شکل های این برگه را ببرند و در هر گروه، با این شکل ها طرحی را بسازند. در این طرح باید هیچ فاصله یا هم پوشانی وجود نداشته باشد. به عبارت دیگر، این شکل ها باید در کنار یکدیگر یک شکل هندسی غیر منتظم به وجود آورند. (چون دانش آموزان قرار است با این شکل زیاد سر و کار داشته باشند و آن را جابه جا کنند، بهتر است آنها را به صورت ماندگارتری کپی کنید.) از هر گروه بخواهید تا درباره چگونگی محاسبه مساحت طرحی که ساخته اند بحث کنند.

دانش آموزان می توانند علاوه بر کنار هم چیدن شکل های کاغذی، از  فعالیت کامپیوتری "جورچین" برای ساختن طرح های خود استفاده کنند و یک نسخه از آن را برای اندازه گیری و محاسبه مساحت شکل چاپ کنند. (همچنین دانش آموزان می توانند مساحت یک مثلث را به عنوان واحد در نظر بگیرند و مساحت بقیه اشکال را با آن بسنجند. به عنوان مثال یک متوازی الاضلاع از دو مثلث درست شده، پس مساحت آن 2 واحد است.)
در کلاس در مورد مراحل تعیین مساحت هر شکل و به دست آوردن مجموع مساحت ها بحث کنید. دانش آموزان باید مساحت هر شکل را حساب کرده و مقدار آن را روی شکل یادداشت کنند و بعد باید مجموع مساحت شکل ها را حساب کنند تا مساحت شکل اصلی به دست آید.
برای دانش آموزان توضیح دهید که ترکیب،همان طور که انجام دادند، فرایند کنار هم گذاشتن شکل ها برای ساختن یک شکل تازه است. در مقابل تجزیه، عمل خرد کردن شکل به قطعات کوچکتر است، که آن ها برای پیدا کردن مساحت کل شکل انجام دادند. به آن ها بگویید که از عمل تجزیه برای تعیین مساحت فضاهای بزرگتر استفاده خواهند کرد.
یک اتاق با شکل هندسی غیر منتظم را در مدرسه خود تعیین کنید. (به این معنی که این اتاق باید کاملاً به شکل مستطیل نباشد. و اگر ممکن است جایی را پیدا کنید که تعدادی زاویه غیر 90 درجه داشته باشد.) حالا این اتاق را به عنوان مبنا در نظر بگیرید و پرسشی مانند پرسش زیر یا شبیه آن را برای دانش آموزان مطرح کنید:

  • مدیر مدرسه ما می خواهد بداند چه اندازه موکت (یا کاشی) برای پوشاندن تمام کف این اتاق نیاز دارد؟ او می خواهد مساحت دقیق اتاق را  بداند، زیرا نمی خواهد بیش از میزان لازم موکت بخرد که پولش را هدر دهد. همچنین نمی خواهد که کم تر از نیاز سفارش دهد که نتوان با آن تمام زمین را فرش کرد. کار شما اندازه گیری ابعاد این اتاق و محاسبه مساحت آن است. سپس باید نامه ای به مدیر بنویسید و به او اطلاع دهید چه مقدار موکت باید بخرد و توضیح دهید که چگونه به پاسخ خود رسیدید.

در صورت امکان دانش آموزان را به اتاق مورد نظر ببرید تا ابعاد آن را اندازه بگیرند، و اگر این امکان را ندارید، پلان آن اتاق را در اختیار آنها قرار دهید. همچنین می توانید به جای کار بر روی اتاقی در مدرسه خودتان، نقشه اتاق های خاصی را با شکل هندسی غیر منتظم به آنها بدهید، مثل نقشه رصدخانه سلطنتی در گرینویچ انگلستان. یک مثال متفاوت در تصویر زیر نشان داده شده است:

دانش آموزان باید در گروه های دو نفره مساحت کف این اتاق را با استفاده از روش هایی که تا این جا یاد گرفته اند محاسبه کنند. برخی گروه ها ممکن است اتاق را به چندضلعی های ساده تر تجزیه کنند و مساحت هر قسمت را جداگانه حساب کنند. گروه های دیگر نیز روش های مختلفی را برای تخمین زدن مساحت اتاق به کار خواهند برد. پس از آن که همه گروه ها به جواب رسیدند، به بچه ها اجازه دهید تا در پایان درس، روش های خود را با یکدیگر در میان بگذارند. دانش آموزانی که از روش تخمین استفاده کرده اند از دانستن روش کسانی که از تجزیه استفاده کرده اند سود می برند و دانش آموزانی که از روش تجزیه استفاده کرده اند، مهارت خود را در تخمین زدن تقویت می کنند.  از دانش آموزان  بخواهید تا نتایج خود را با یکدیگر مقایسه کنند، تخمین های آنها چقدر به مقدار واقعی مساحت نزدیک بوده است؟

پرسش هایی برای دانش آموزان:

  • از چه روش هایی برای تخمین مساحت شکل غیر منتظمی که ساخته اید استفاده کردید؟ از چه روش های دیگری می توانستید استفاده کنید؟
    ( راه های مختلفی ممکن است: یک روش رسم شکل روی کاغذ شطرنجی و یا گذاشتن یک برگ کاغذ شطرنجی شفاف روی آن و شمارش تعداد مربع ها است. راه دیگر آن است که شکل را به طور تقریبی به شکل های شناخته شده ای مانند مربع و مثلث تجزیه کنیم و بعد مساحت هر کدام را حساب کرده، با هم جمع کنیم.)
  • آنچه در این درس انجام دادید، چه کاربردهایی در زندگی واقعی دارد؟ کدام انواع از مشاغل نیاز به شخصی دارند که بتواند فعالیتی مانند آنچه شما کردید را انجام دهد؟ (در هر شغلی که نیاز به دانستن مساحت یک سطح وجود داشته باشد، روش تجزیه شکل به شکل های کوچک تر برای محاسبه مساحت سودمند است، مانند کسانی که کف اتاق ها را موزاییک یا موکت می کنند، یا نقاشان ساختمان)

پرسش هایی برای معلم:

  • زمانی که دانش آموزان ابعاد اتاق را اندازه می گرفتند، دقت آنها در اندازه گیری چقدر بود؟ آیا در حین اندازه گیری با مشکلی هم روبرو شدند؟ چه کمکی می توانید برای دانش آموزان پیشنهاد کنید؟
  • آیا تدریس شما برای یادگیرنده های مختلف کاربرد داشت؟
  • دانش آموزان چگونه نشان دادند که برای به دست آوردن مساحت شکل بزرگ تر، مساحت شکل های جداگانه را با هم جمع کرده اند؟ آنها برای نشان دادن این ارتباط از چه لغاتی استفاده کردند؟
  • چگونه تدریس شما با مهارت های شنیداری، دیداری و لامسه ای بچه ها مرتبط می شد؟

ارزشیابی:
 

  • از دانش آموزان بخواهید تا مساحت استان های مختلف کشور خود را به دست آورند. شکل این استان ها غیر هندسی است و آنها می توانند به راحتی پاسخ خود را با مساحت ثبت شده در کتاب های جغرافیایی یا سایت های اینترنتی مقایسه کنند. علاوه بر این، برای آگاه شدن از میزان توانایی آنها درتعیین مساحت شکل های غیر هندسی، می توانید در این فعالیت تمرین های نقشه خوانی و استفاده از مقیاس مناسب را نیز در نظر بگیرید.
  • از دانش آموزان بخواهید یک نامه به مدیر مدرسه خود بنویسند و توضیح دهند چه مقدار موکت برای فرش کردن اتاق مورد بحث لازم است و آنها چگونه این مساحت را حساب کرده اند؟
  • از دانش آموزان بخواهید با استفاده از خط کش یک چند ضلعی غیر منتظم با دست کم 6 ضلع رسم کنند. بعد دانش آموزان شکل ها را با هم مبادله کنند و مساحت شکلی را که به آنها داده شده است به دست آورند. سپس شکل ها را برگردانند و نتیجه محاسبات دوست خود را بررسی کنند.

توسعه:
 

  • می توانید هنگام رسم نقشه پلان اتاق در ساختمان مدرسه، از دانش آموزان بخواهید تا پلان را با استفاده از مقیاس رسم کنند. مثلا آنها     می توانند برای رسم این نقشه از برگه مدرج سانتی متری استفاده کنند. حتی می توانند میزها و قفسه ها و دیگر چیزهایی را که در اتاق وجود دارد،در نقشه خود اضافه کنند.
  • از دانش آموزان بخواهید تا گسترده هایی برای هرم یا منشور رسم کنند و مساحت جانبی آنها را با استفاده از روش تجزیه محاسبه کنند.

  • از دانش آموزان بخواهید تا مساحت شکلی مانند این پنج ضلعی که در مستطیل زیر محصور شده را به دست آورند.

  • برای پیدا کردن مساحت این پنج ضلعی، دانش آموزان باید مساحت مثلث ها را از مساحت مستطیل کم کنند. (مساحت آن 17/5 واحد مربع است.)
نوشته شده در 87/11/02ساعت 8:13 بعد از ظهر توسط مهران مرداني| |

طرح درس:
در این درس، فرمولی برای مساحت ذوزنقه به دست خواهد آمد.

اهداف:

  • اندازه گیری ابعاد مستطیل و مثلث و محاسبه مساحت آنها.
  • استفاده از دانش خود در مورد فرمول مساحت مستطیل برای پیدا کردن مساحت ذوزنقه.
  • کشف روش های دیگر برای تعیین مساحت ذوزنقه.
  • محاسبه مساحت ذوزنقه با دانستن اندازه ارتفاع و قاعده هایش.

    وسایل لازم:
    خط کش
    قیچی
    ماشین حساب
    برگه فعالیت "ذوزنقه ها"
    برگه مدرج سانتی متری
    فعالیت کامپیوتری "مساحت ذوزنقه ها"


    روش تدریس:
    پیش     از این درس، دانش آموزان به تجربیاتی در اندازه گیری ابعاد مستطیل و مثلث و محاسبه مساحت آنها نیاز دارند. همچنین لازم است شکل ذوزنقه را هم بشناسند. شاید مروری بر ویژگی های ذوزنقه در مقایسه با سایر چهار ضلعی ها نیز سودمند باشد. به طور مثال می توانید به بچه ها شکل چهارضلعی های مختلفی را نشان دهید و از آنها بخواهید تا تشخیص دهند کدام ها ذوزنقه هستند و کدام ها نیستند. از دانش آموزان بخواهید تا دلایل دسته بندی خود را توضیح دهند. مطمئن شوید که مثال هایی از حالت های مختلف ذوزنقه را دیده اند. ارائه نمودار ون زیر نیز می تواند به دانش آموزان در درک ارتباط بین چهار ضلعی های مختلف کمک کند.

    برای شروع، به دانش آموزان فرصت دهید تا مساحت ذوزنقه ها را تخیمن بزنند. آنها می توانند در هر گروه، کاغذ سانتی متری شفاف را روی ذوزنقه های موجود در برگه فعالیت"ذوزنقه ها" قرار دهند و مساحت کل آنها را بر حسب سانتی متر مربع حدس بزنند. (اگر امکان تهیه برگه سانتی متری شفاف را ندارید، می توانید برگه مدرج را روی کاغذ نازک تکثیر کنید.) در ادامه درس، دانش آموزان با اندازه گیری و استفاده از یک فرمول، مساحت ذوزنقه را محاسبه خواهند کرد و پاسخ خود را با تخمینی که در این قسمت داشته اند مقایسه می کنند.
    برای قسمت اصلی درس، دانش آموزان باید در گروه های سه نفره کار کنند و همه آنها باید در گروه فعالیت کنند، ولی می توانید کارها را به صورت زیر تقسیم کنید:

    • مسئول یادداشت: ثبت تمام اطلاعات مهم
    • مسئول محاسبات: تأیید تمام اندازه گیری ها و محاسبات
    • مسئول گزارش: گزارش اطلاعات مربوط به کلاس

    این تقسیم وظایف مهم است، زیرا باعث می شود همه دانش آموزان در گروه پاسخگو باشند. هر دانش آموز باید به طور فعال در کار گروهی شرکت کند و هیچ کدام هم ناچار نیست تمام کار را به تنهایی انجام دهد.

    وقتی که دانش آموزان گروه بندی شدند، یک ذوزنقه متعارف، مانند تصویر زیر را روی تخته کلاس بکشید یا با پروژکتور نمایش بدهید.


    مهم ترین بخش این درس، یافتن فرمولی برای مساحت ذوزنقه است. پیش از آن، زمانی را برای اکتشاف به بچه ها بدهید. از آنها بخواهید تا روش هایی را برای پیدا کردن مساحت ذوزنقه بالا پیشنهاد کنند. برای برانگیختن آنها بپرسید: "از چه شکل هایی می توانید کمک بگیرید؟ آیا شکل هایی وجود دارند که قبلا روش به دست آوردن مساحت آنها را آموخته باشید؟". پس از این که دانش آموزان در هر گروه مدتی را به بحث روی پیشنهادها پرداختند، از مسئول گزارش چند تا از گروه ها بخواهید تا نتایج خود را برای کلاس اعلام کنند.
    آنان ممکن است راه های مختلفی را پیشنهاد کنند. یک راه احتمالی تقسیم ذوزنقه به سه بخش- یک مستطیل و دو مثلث- است (مانند شکل زیر).

    از دانش آموزان بخواهید تا با استفاده از هر روشی که تعیین می کنند، مساحت ذوزنقه ای را با قاعده های 24 سانتی متر و 10 سانتی متر و ساق های 15 و 13 سانتی متر به دست آورند.به همه گروه ها اجازه دهید تا مساحت را محاسبه کنند و اطمینان پیدا کنید که همه کلاس در مورد این که مساحت چیست، اتفاق نظر دارند.این مهم است که همه گروه ها مساحت را به درستی به دست آورند. در ادامه درس، دانش آموزان مساحتی را که در این قسمت پیدا کرده اند با مساحت مستطیل به وجود آمده از تقسیم ذوزنقه مقایسه می کنند.
    راه دیگر این است که ذوزنقه را مانند شکل زیر با وصل کردن وسط دو ساق به یکدیگر تقسیم کنیم. اگر چه به کمک تجزیه ذوزنقه به صورت بالا، مساحت آن به دست می آید، ولی شکل زیر، به بچه ها نشان می دهد که چگونه هر ذوزنقه را می توان به یک مستطیل تبدیل کرد و آنها را به یافتن فرمول مساحت ذوزنقه هدایت می کند.

    با جا به جا کردن دو مثلث از دو گوشه ذوزنقه و چرخاندن و انتقال آنها به قسمت بالای ذوزنقه،یک مستطیل به وجود می آید. اندازه خط وسط، برابر با میانگین طول دو قاعده است، دانستن این نکته مهم است و در اثبات فرمول مساحت از آن استفاده می شود. زیرا خط وسط برابر با طول مستطیل جدیدی است که به وجود می آید و با بیان آن به صورت  1/2(b1+b2)می توانیم به سرعت به فرمول مساحت برسیم. برای آن که مطمئن شوید این رابطه را متوجه می شوند، از آنها بپرسید "خط وسط چه رابطه ای با دو قاعده دارد؟" دانش آموزان ممکن است بگویند طول خط وسطی دقیقا "بین" طول دو قاعده است. یا به صورت دقیق تر، ممکن است برخی از آنها اشاره کنند که طول این خط برابر با میانگین طول دو قاعده است.
    به دانش آموزان یادآوری کنید که مساحت مستطیل برابر با حاصل ضرب طول و عرض آن است.در مورد این مستطیل، طول برابر با  1/2(b1+b2)
    و عرض آن هم برابر با ارتفاع h است. بنابراین مساحت مستطیل (و در نتیجه ذوزنقه) برابر می شود باA = ½h(b1 + b2)  َ . این همان فرمول سنتی برای پیدا کردن مساحت ذوزنقه است.
    بعد از این که این فرمول به اثبات رسید، دانش آموزان می توانند ابعاد مستطیل را اندازه بگیرند و مساحت آن را محاسبه کنند. از کلاس بپرسید "چه ارتباطی بین مساحت این مستطیل و مساحت ذوزنقه اصلی که در قسمت قبل حساب کردید وجود دارد؟" بعد از محاسبه مساحت مستطیل، باید به پاسخی برابر با پاسخ قبلی رسیده باشند. این مهم است که دانش آموزان بفهمند فقط شکل ها تغییر کرده اند، نه مساحت ها.
    به دانش آموزان اجازه دهید تا در هر گروه، مساحت ذوزنقه های برگه فعالیت "ذوزنقه ها" را حساب کنند. در حین این فعالیت، به گروه ها سر بزنید و به آنها راهنمایی های لازم را بکنید. همچنین روش های موفق بچه ها را در محاسبه مساحت هر ذوزنقه یادداشت کنید و سعی کنید تا در یک بحث کلاسی این روش ها در اختیار همه قرار گیرند. بعد ازگذشت زمان کافی، افراد کلاس را جمع کنید و در مورد نتایج کار به بحث بپردازید.
    برای جلوتر بردن بحث می توانید به شکل اولیه ذوزنقه برگردید و از روش های تجزیه دیگری برای اثبات فرمول مساحت استفاده کنید. اگر دانش آموزانتان در درس عبارت های جبری آمادگی دارند، دیدن روش های  اثبات مختلف خیلی ارزشمند است.
    به عنوان مثال اگر بچه ها پیشنهاد کرده بودند که ذوزنقه را به یک مستطیل و دو مثلث تقسیم کنیم، اجزای مختلف آن را مانند شکل زیر نامگذاری کنید و در باره آنها با دانش آموزان بحث کنید.

    بنابراین اثبات فرمول مساحت به روش زیر صورت می گیرد:

    b1×h = مساحت مستطیل

     =½xhمساحت مثلث سمت چپ

    مساحت مثلث سمت راست =½(b2 – b1 – x) × h = ½b2h – ½b1h – ½xh

    و با جمع مساحت این سه قسمت، مساحت کل شکل را داریم:


    A = b1h + ½xh + ½b2h – ½b1h – ½xh
    A =½b1h + ½b2h
    A =½(b1 + b2) h

    که همان فرمولی است که پیش تر داشتیم.
    ممکن است بخواهید روی فرمول مساحت ذوزنقه های خاص مانند قائم الزاویه و متساوی الساقین نیز کار کنید. اگر چه اثبات ها شبیه هستند، اما این فرصت های متعدد برای تعریف فرمول برای دانش آموزان سودمند است.
    به علاوه دانش آموزان می توانند از فعالیت کامپیوتری "مساحت ذوزنقه ها" برای بررسی ارتباط بین ارتفاع و طول قاعده ها با مساحت استفاده کنند.

    حالا به نتایج تخمین مساحت ذوزنقه ها در برگه فعالیت برگردید و از دانش آموزان بخواهید تا مساحت محاسبه شده را با تخمینی که زده بودند مقایسه کنند. پاسخ ها چه قدر به هم نزدیک هستند؟ آیا آنها توانسته اند مساحت ذوزنقه ها را با اختلافی در حدود یک سانتی متر مربع پیش بینی کنند؟
    برای نتیجه گیری از درس و تمرین بیشتر، بچه ها را در گروه های دو نفره قرار دهید. هر دانش آموز باید یک ذوزنقه رسم کند و ابعاد آن را اندازه گرفته، مساحت آن را حساب کند. سپس در هر گروه ذوزنقه ها را معاوضه کنند و مساحت ذوزنقه جدید را محاسبه کنند و در مورد نتایج با هم بحث کنند.

    پرسش هایی برای دانش آموزان:

    • امروز ما در مورد روش های مختلفی برای پیدا کردن مساحت ذوزنقه صحبت کردیم. کدام روش را بیشتر دوست داشتید؟ چرا؟ آیا استفاده از فرمول برای شما ساده تر از روش های دیگر است؟
      (فرمول همیشه آسان ترین روش نیست، ولی همیشه می توان از آن برای تعیین مساحت استفاده کرد.)
    • موقعیتی را تعریف کنید که در آن پیدا کردن مساحت یک ذوزنقه لازم باشد.
      (به طور مثال، برای رنگ کردن یک دیوار، هر گالن رنگ برای رنگ کردن حدود 30 تا 35 متر مربع کافی است. اگر یک دیوار ذوزنقه شکل احتیاج به رنگ کردن داشته باشد ، لازم است مساحت آن را برای تعیین مقدار رنگ مورد نیاز تخمین بزنیم.)
    • بعضی ها می گویند ذوزنقه عضوی عجیب از خانواده چهار ضلعی ها است. آیا شما موافقید؟ نظر شما چیست؟ پلسخ خود را توضیح دهید.
      (در بین چهار  نوع خاص چهارضلعی ها، یعنی ذوزنقه، متوازی الاضلاع، لوزی و مربع، فقط ذوزنقه است که نیازی به دو جفت ضلع موازی ندارد. بنابراین یک تفاوت کوچک با چهار ضلعی های دیگر دارد.)

    پرسش هایی برای معلم:

    • وقتی که به گفتگوهای بچه ها گوش می دادید، چه کلمات و عباراتی استفاده می کردند؟ آیا از اصطلاحات درست استفاده می کردند؟ آیا به نظر می رسید که با زبان و روند تدریس راحت هستند؟
    • میزان مشارکت آنها در فعالیت ها چگونه بود؟ برای ایجاد مشارکت بیشتر در آینده چه می توان کرد؟
    • آیا تدریس شما با سطوح گوناگون یادگیرنده ها تقریبا تطبیق داشت؟
    • آیا دانش آموزان یک روش یافتن مساحت را به روش های دیگر ترجیح می دادند؟ آیا آنها چرایی و چگونگی کارکرد فرمول را درک کردند؟

توسعه:
 

ناحیه زیر یک نمودار سرعت_زمان برابر با کل مسافت طی شده است. همان طور که در تصویر زیر نشان داده شده است، نمودار یک سرعت فزاینده در ابتدا و سپس ادامه مسیر با یک سرعت ثابت، به شکل یک ذوزنقه خواهد بود. دانش آموزان می توانند با محاسبه مساحت ذوزنقه، کل مسافت طی شده را به دست آورند.

به دانش آموزان اجازه دهید از ماشین حساب نیز برای محاسبه سطح زیر نمودار کمک بگیرند

نوشته شده در 87/11/02ساعت 8:9 بعد از ظهر توسط مهران مرداني| |

طرح درس:
در این درس، فرمولی برای مساحت مثلث به دست خواهد آمد. دانش آموزان مساحت مستطیل و مربع را محاسبه می کنند و آنها را با مساحت مثلث هایی که در این شکلها می توان یافت، مقایسه می کنند.

اهداف:
محاسبه مساحت مستطیل و مربع
بدست آوردن فرمولی برای مساحت مثلث
استفاده از فرمول مساحت برای محاسبه مساحت مثلث و یا یافتن یکی از اندازه ها

وسایل لازم:
خط کش
قیچی
ماشین حساب
پرگه فعالیت "مربع ها و مستطیل ها"
فعالیت کامپیوتری "مساحت مثلث ها"
برگه فعالیت "مثلث های غیر مشخص"
اسلاید "نقشه مثلث برمودا"

روش تدریس:
قبل از این درس، لازم است دانش آموزان اندازه گیری ابعاد و محاسبه مساحت مستطیل و مربع را آموزش دیده باشند. برای آمادگی بیشتر، از بچه ها بخواهید تا دست کم اندازه های یک مربع و مستطیل را که در کلاس درس می بینند به دست آورند، ابعاد آن ها را یادداشت کنند و مساحت هر یک را حساب کنند. به عنوان مثال آنها می توانند مساحت کاشی های کف کلاس، پنجره ، تخته سیاه، یا تابلو اعلانات کلاس، سطح روی میزها یا قفسه ها و ... را به دست آورند. آنها را تشویق کنید تا آنجا که می توانند مساحت شکل های گوناگون را حساب کنند و نتایج کار خود را در کلاس اعلام کنند.
دانش آموزان را به گروه های سه نفره تقسیم کنید و هر سه نفر در فعالیت گروه مسئول هستند، ولی می توانید وظایف زیر را برای هر کدام تعریف کنید:

  • مسئول یادداشت: ثبت تمام اطلاعات مهم
  • مسئول محاسبات: تایید تمام اندازه گیری ها و محاسبات
  • مسئول گزارش: گزارش اطلاعات مربوط به کلاس

برگه فعالیت "مربع ها و مستطیل ها" را بین بچه ها پخش کنید. هر عضو گروه باید ابعاد همه شکلهای روی برگه فعالیت را اندازه بگیرد و مساحت آنها را محاسبه کند. به آنها فرصت دهید تا قبل از ادامه کار، پاسخ ها و اندازه های خود را با اعضای گروه خود مقایسه کنند.
اگر لازم است، فرمول مساحت مستطیل را یادآوری کنید: عرض × طول = مساحت مستطیل(A=b*h).

سپس دانش آموزان باید با استفاده از خط کش یکی از قطرهای شکل های A و B و C را رسم کنند و هر شکل را از روی قطر آن با قیچی ببرند تا به دو قسمت تقسیم شود. بعد در هر گروه مساحت مثلث های به وجود آمده را تخمین بزنند.آنها می توانند این کار را به هر روش که می خواهند انجام دهند. یک روش آن است که تعداد مربع های موجود در هر شکل را بشمارند و مربع های نصف یا خرد شده را نیز با هم بشمارند تا مربع کامل حساب شود. روش دیگر درک این موضوع است که هر مثلث، مساحتی برابر با نصف مساحت شکل اصلی دارد (دانش آموزن می توانند این موضوع را با قراردادن نیمه دیگر روی آن ببینند). نتایج کار را در کل کلاس به بحث بگذارید.
به روش مشابه، دانش آموزان باید مساحت بزرگترین مثلث به وجود آمده در شکل D را که مانند شکل زیر به 3 قسمت تقسیم شده است، به دست آورند. همان طور که برای شکل های A و B و C انجام شد، دانش آموزان می توانند مساحت این مثلث را با شمردن مربع ها تخمین بزنند یا دو مثلث کوچکتر را طوری کنار هم قرار دهند تا شکلی شبیه مثلث بزرگتر ساخته شود.

ممکن است در هر گروه دانش آموزان نقاط دیگری از ضلع بالایی مستطیل را برای رسم مثلث ها انتخاب کنند. اما به هر حال هر دانش آموز باید این نکته را متوجه شود که مساحت مثلث بزرگتر برابر با نصف مساحت مستطیل اولیه است. نکته مهمتر این است که اعضای هر گروه درک کنند که محل قرار گرفتن راس بالایی مثلث روی ضلع مستطیل، تأثیری در این موضوع ندارد.

 برای آنکه به آنها فرصت بیشتری برای تجربه این موضوع بدهید، از آنها بخواهید تا فعالیت "مساحت مثلث ها" را انجام دهند.

دانش آموزان باید بفهمند که اگرچه شکل مثلث ممکن است تغییر کند، ولی قاعده، ارتفاع و مساحت آن تغییری نمی کند. برای تاکید بر این موضوع، از آنها بخواهید تا نقطه B را آنقدر جابه جا کنند که نقطه D درست بر روی نقطه A قرار بگیرد. همان طور که در تصویر می بینید، این کار یک مثلث قائم الزاویه با زاویه راست در رأس A بi وجود می آورد. حالا از آنها بخواهید تا نقطه B را دوباره آنقدر جابه جا کنند که نقطه D روی نقطه C قرار بگیرد. این کار هم یک مثلث قائم الزاویه با زاویه راست در رأس C به وجود می آورد. دانش آموزان به سرعت متوجه می شوند که این مثلث ها متجانس اند، پس مساحت های یکسان خواهند داشت.

در مورد نتایج در کلاس بحث کنید. از دانش آموزان بپرسید مساحت هر مثلث چه ارتباطی با مساحت شکل اولیه دارد؟ آنها باید فهمیده باشند که در هر مورد، مساحت مثلث برابر با یک دوم مساحت مستطیل است. (در اینجا ممکن است بخواهید فرمول A=1/2bh را به دانش آموزان بگویید، ولی اگر به آنها فرصت دهید تا خودشان فرمول را با استفاده از فعالیت بعدی و بحث های متوالی آن به دست آورند، ارزش بیشتری خواهد داشت.)
برگه فعالیت "مثلث های غیرمشخص" را در کلاس پخش کنید. در این پلی کپی اندازه های دو مثلث داده شده است. از دانش آموزان بخواهید تا مساحت مثلث ها را به دست آورند. به آنها اجازه دهید تا مساحت ها را از هر روشی که می خواهند به دست آورند، ولی آنها را به استفاده از آنچه به تازگی در مورد مساحت یافته اند تشویق کنید. دانش آموزان احتمالا متوجه می شوند که اولین مثلث، یک مثلث قائم الزاویه است، پس مساحت آن یک دوم مساحت مستطیلی است که از روی قطرش به دو قسمت تقسیم شده است. اما ممکن است در مورد مثلث دوم، درک این موضوع که مساحت آن برابر با نصف مساحت مستطیلی به ابعاد 4×3 است، برای آنها مشکل باشد. در حین این که بچه ها کار می کنند، در کلاس بگردید و با پرسش های خود، آنها را در رسیدن به این نتیجه راهنمایی کنید.

از دانش آموزان بخواهید فرمولی برای محاسبه مساحت مثلث کشف کنند. از آنها بخواهید تا دلایل خود را توضیح دهند و ثابت کنند که فرمولشان درست عمل می کند. برای هدایت آنها می توانید چنین پرسش هایی را طرح کنید: "مساحت یک مثلث چه ارتباطی با مساحت مستطیل دارد؟" و "فرمول مساحت مستطیل چیست؟" مراقب باشید تا پرسش هایتان را خیلی زود نپرسید و تعدادشان هم زیاد نباشد، چرا که یادگیری در صورتی که بچه ها خودشان فرمول را به وجود آورند، بسیار مؤثرتر است.

پرسش هایی برای دانش آموزان:
آیا مساحت دو مثلث با ارتفاع های مساوی، با هم برابر است؟ اگر بله، چرا و اگر نه چرا ؟ چند مثال بزنید.

(مساحت دو مثلث که ارتفاع برابر دارند، تنها در صورتی مساوی خواهد بود که دارای قاعده های مساوی نیز باشند. دو مثلث را که ارتفاع هر دو  4cm است، در نظر بگیرید: اگر قاعده یکی از آنها 3cm باشد، مساحت آن A = ½ × 3 × 4 = 6 خواهد بود و اگر قاعده مثلث دیگر 5cm باشد، مساحت آن A = ½ × 5 × 4 = 10  است. روشن است که مساحت ها برابر نیستند. از سوی دیگر، دو مثلث زیر مساحت های  یکسان دارند، زیرا اندازه ارتفاع و قاعده آنها با هم مساوی است و متفاوت بودن شکل آنها در مساحت شان تأثیری ندارد.)

برای بچه ها توضیح دهید که چگونه می توان از شکل های دیگری به جز مربع و مستطیل، برای به دست آوردن فرمول مساحت مثلث استفاده کرد.
 

(فرمول مساحت متوازی الاضلاع A=b*h است، که شبیه به همان فرمول مساحت مستطیل است. با دو قسمت کردن یک متوازی الاضلاع از روی قطر آن، دو مثلث متجانس تشکیل می شود که ما را به همان نتیجه قبلی می رساند. یعنی فرمول مساحت مثلث A=1/2bh خواهد بود.)

پرسش هایی برای معلم:

  • آیا دانش آموزان برای یافتن مساحت مثلث های خود، از روشهای دیگری استفاده کردند؟اگر چنین بود، شما باتوضیح آنها چگونه برخورد کردید؟
  • دانش آموزان از چه راههای دیگری نشان دادند که فعالانه مجذوب فرآیند یادگیری شده اند؟
  • آیا بچه ها درک و دریافت خود را از اینکه چرا و چگونه فرمول A=1/2bh را به کار می بریم،نشان دادند؟
  • آیا هنگامی که از آنان خواستید تا درستی کار یکدیگر را بررسی کنند، هیچ برخورد منفی یا مثبتی مشاهده کردید؟
  • آیا در هنگام تدریس ایجاد هیچ تغییری را لازم دانستید؟ اگر بله، در کجا و چگونه این تغییر باید انجام شود؟

ارزشیابی:
مثلث برمودا ناحیه ای مثلث شکل است که در محدودۀ بین سن جوان در پرتوریکو، میامی در فلوریدا و برمودا واقع شده است. با استفاده از یک نقشه، دانش آموزان باید ابعاد مثلث برمودا را اندازه بگیرند و با کمک مقیاسی که  نقشه دارد، مساحت واقعی مثلث برمودا را حساب کنند. شما می توانید از اسلاید "نقشه مثلث برمودا" برای نشان دادن این ناحیه به دانش آموزان استفاده کنید.

از دانش آموزان بخواهید تا به گروههای دو نفره تقسیم شوند و هر کدام مثلث هایی را از کاغذ ببرند و به هم گروه خود بدهند تا مساحت مثلث ها را حساب کند. هر دانش آموز باید پاسخهای دیگری را کنترل کند و با یکدیگر به برطرف کردن اختلافات بپردازند.

نوشته شده در 87/11/02ساعت 8:7 بعد از ظهر توسط مهران مرداني| |


قالب وبلاگ : قالب وبلاگ